At agnoscit hoc verum esse in illis seriebus, quæope nostre methodi turminantur: velim certe ut assignet mihi Nobiliss. vis seriem aliquam convergentem cum sua terminatione, quæ consectarium nostrum respuat; vel si eam assignare non possit, solidam dubitandi rationem tantum desidero. Ut autem funditus averatur hæc objectio, sequentem exhibeo demonstrationem Geometricam.

A C E G I L

B D F H ${\displaystyle \alpha }$ K M

Z
X

Sit A. polygonum regulare sectori inscriptum, B. eidem simile circumscriptum; continuctur series convergens polygonorum &c. ut sit, ejus terminatio, seu circuli sector z" sit x eodem modo composita à terminis C, D, quo z, à terminis A, B; dico z & x esse indefinite æquales; si non sint indefinite æquales, sit inter illas indefinita differentia ${\displaystyle \alpha }$, & continuetur series convergens in terminos convergentes I, K, ita ut eorum differentia sit minor quam ${\displaystyle \alpha }$; hoc enim absque dubio concipi potest, etiamsi hic omnes quantitates sint indefinite, quoniam definitis quantitatibus A, B, definitur etiam ${\displaystyle \alpha }$, sed adhur restat K-I quantitas indeterminata in infinitum decrescens. Manifestum est, fectorem z esse indefinite minorem quam K, & majorem quam I: item quoniam Z. eodem modo componitur ex quantitibus A, B quo X. e quantitatibus C, D, & Z indefinite minor est quam K & major quam I, patet ex proprietatibus serierum convergentium, X etiam esse indefinite majorem quam I, & minorem quam K (est exim revera indefinite major quam L & minor quam M) & proinde sunt quatuor quantitates indefinite, quarum maxima & minima sunt I, K, intermediæ autem Z & X, & ideo differentia extremarum K-I major est quam ${\displaystyle \alpha }$ differentia mediarum, quod est absurdum, ponitur ænim minor; quantitates ergo Z & X non sunt indefinite inæquales, & ideo sunt indefinite æquales, quid demonstrandum erat. Manifestum est hunc demonstrationem eodem modo applicabilum esse omni seriei convergenti. In objectionibus 2, 3 & 4, contra suas ipsius imaginationes argumentatur Hugenius: Ego enim satis dilucide affirmo in scholio prop. 5, et in fine prop 9. septimam & nonam propositionem esse particularem, unamquæmq, suo casui; item in prop. decima (quam ergo progenerali substituo) evidenter suppono, & non quero, illam quantitatem eodem modo compositam ex primis, quo ex secundis terminis convergentibus; satis enim scio, talem methodum generalem esse impossibilem. Sed omnium maxime admiror, Clarissimum virum non animadvertisse in 8 definitione, Quantitates C, D, E, compositionem ingredientes, semper esse easdem, nempe definitas & invariabiles, ipso autem terminos A, B, esse indefinitos & variabiles, nimirum in F, G, & infinitos alios: at quis est qui non videt. Hugenii ${\displaystyle {\frac {b^{2}m}{a^{2}+ba}}}$non minus esse indefinitam, quam sunt ipsi termini? Deinde in Proœmio nostræ Geometriæ partis universalis, sic dico. Alii objiciunt contra prop. 2, ita; si addatur ${\displaystyle a^{3}}$ termino ${\displaystyle a^{3}+a^{2}b}$ & termino ${\displaystyle ba^{2}+b^{2}a}$, enervetur vis utriusq; demononstrationis. Respondeo, ${\displaystyle a^{3}}$ esse quantitatem indefinitam & alias quantitates indefinitas præter ipsos terminos convergences